一、选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；有单选和多选题）

1. 下列四个不同进制的数中，与其它三项数值上不相等的是 {{ select(1) }}

• $(269)_{16}$
• $(617)_{10}$
• $(1151)_8$
• $(1001101011)_2$

2. 下列属于解释执行的程序设计语言是 {{ select(2) }}

• C
• C++
• Pascal
• Python

3. 中国计算机学会于（ ）年创办全国青少年计算机程序设计竞赛。 {{ select(3) }}

• 1983
• 1984
• 1985
• 1986

4. 根节点深度为 0，一棵深度为 h 的满 k(k>1) 叉树，即除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有 k个子结点的树，共有（ ）个结点。 {{ select(4) }}

• $\dfrac{k^{h+1}-1}{k-1}$
• $k^{h-1}$
• $k^h$
• $\dfrac{k^{h-1}}{k-1}$​

5. 设某算法的时间复杂度函数的递推方程是 T(n) = T(n - 1) + n（n为正整数）及 T(0) = 1，则该算法的时间复杂度为（ ）。 {{ select(5) }}

• O(\log n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n)$
• $O(n^2)$

6. 表达式$\texttt{a * d - b * c}$ 的前缀形式是（ ）。 {{ select(6) }}

• $\texttt{a d * b c * -}$
• $\texttt{- * a d * b c}$
• $\texttt{a * d - b * c}$
• $\texttt{- * * a d b c}$

7. 在一条长度为 1的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ） {{ select(7) }}

• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{1}{3}$
• $\dfrac{2}{3}$
• $\dfrac{3}{5}$

8. 关于 Catalan 数 $C_n = \dfrac{(2n)!}{(n + 1)!n !}$ ，下列说法中错误的是（ ）。 {{ select(8) }}

• $C_n$表示有$n + 1$ 个结点的不同形态的二叉树的个数。
• $C_n$表示含 $n$对括号的合法括号序列的个数。
• $C_n$ 表示长度为 $n$ 的入栈序列对应的合法出栈序列个数。
• $C_n$ 表示通过连接顶点而将 $n + 2$ 边的凸多边形分成三角形的方法个数。

9.假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于（ ）。 {{ select(9) }}

• 1:2
• 2:1
• 1:3
• 1:1

10. 为了统计一个非负整数的二进制形式中 11 的个数，代码如下：

int CountBit(int x)
{
	int ret = 0;
	while (x)
	{
		ret++;
		___________;
	}
	return ret;
}

则空格内要填入的语句是（ ）。 {{ select(10) }}

• x >>= 1
• x &= x - 1
• x |= x >> 1
• x <<= 1

11.NOIP 初赛中，选手可以带入考场的有（ ）。 {{ multiselect(11) }}

• 笔
• 橡皮
• 手机（关机）
• 草稿纸

12.2-3 树是一种特殊的树，它满足两个条件：

①每个内部结点有两个或三个子结点；

②所有的叶结点到根的路径长度相同。

如果一棵 2-3 树有 10 个叶结点，那么它可能有（ ）个非叶结点。 {{ multiselect(12) }}

• 5
• 6
• 7
• 8

13.下列关于最短路算法的说法正确的有（ ）。 {{ multiselect(13) }}

• 当图中不存在负权回路但是存在负权边时，Dijkstra 算法不一定能求出源点到所有点的最短路。
• 当图中不存在负权边时，调用多次 Dijkstra 算法能求出每对顶点间最短路径。
• 图中存在负权回路时，调用一次 Dijkstra 算法也一定能求出源点到所有点的最短路。
• 当图中不存在负权边时，调用一次 Dijkstra 算法不能用于每对顶点间最短路计算。

14.下列说法中，是树的性质的有（ ）。 {{ multiselect(14) }}

• 无环
• 任意两个结点之间有且只有一条简单路径
• 有且只有一个简单环
• 边的数目恰是顶点数目减 1

15.下列关于图灵奖的说法中，正确的有（ ）。 {{ multiselect(15) }}

• 图灵奖是由电气和电子工程师协会（IEEE）设立的。
• 目前获得该奖项的华人学者只有姚期智教授一人。
• 其名称取自计算机科学的先驱、英国科学家艾伦·麦席森·图灵。
• 它是计算机界最负盛名、最崇高的一个奖项，有“计算机界的诺贝尔奖”之称。

二、阅读题目请做以下选择题

甲乙丙丁四人在考虑周末要不要外出郊游。

已知①如果周末下雨，并且乙不去，则甲一定不去；②如果乙去，则丁一定去；③如果丙去，则丁一定不去；④如果丁不去，而且甲不去，则丙一定不去。

如果周末丙去了，则甲___⑴___，乙__⑵____，丁__⑶____，周末___⑷___。

●单选题

16. ⑴ {{ select(16) }}

• 去了
• 没去

17. ⑵ {{ select(17) }}

• 去了
• 没去

18. ⑶ {{ select(18) }}

• 去了
• 没去

19. ⑷ {{ select(19) }}

• 下雨
• 没下雨

三、阅读程序写结果

20. 方程$ a\times b = (a \operatorname{or} b) \times (a \operatorname{and} b)$，在 $a, b$ 都取 [0, 31] 中的整数时，共有_____组解。（ $\times$ 表示乘法；$or$ 表示按位或运算；$and$表示按位与运算）

{{ input(20) }}

21. 阅读程序写结果:

#include <stdio.h>
int main() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < x; ++i) {
        if (i * i % x == 1) {
        	++res;
        }
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

输入：15

{{ input(21) }}

22.阅读程序写结果:

#include <stdio.h>

int n, d[100];
bool v[100];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", d + i);
        v[i] = false;
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!v[i]) {
            for (int j = i; !v[j]; j = d[j]) {
            	v[j] = true;
            }
            ++cnt;
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}

输入：10 7 1 4 3 2 5 9 8 0 6

{{ input(22) }}

23.阅读程序写结果:

#include <iostream>
using namespace std;
string s;

long long magic(int l, int r) {
    long long ans = 0;
        for (int i = l; i <= r; ++i) {
        ans = ans * 4 + s[i] - ‘a’ + 1;
    }
return ans;
}

int main() {
    cin >> s;
    int len = s.length();
    int ans = 0;
    for (int l1 = 0; l1 < len; ++l1) {
        for (int r1 = l1; r1 < len; ++r1) {
            bool bo = true;
            for (int l2 = 0; l2 < len; ++l2) {
                for (int r2 = l2; r2 < len; ++r2) {
                    if (magic(l1, r1) == magic(l2, r2) 
                    	&& (l1 != l2 || r1 != r2)) 
                    	bo = false;
                }
            }
            
            if (bo) {
                ans += 1;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

输入：abacaba

{{ input(23) }}

阅读程序写结果:

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
bool isUse[N];
int n, t;
int a[N], b[N];
bool isSmall() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (a[i] != b[i]) return a[i] < b[i];
    return false;
}
bool getPermutation(int pos) {
    if (pos > n) {
        return isSmall();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!isUse[i]) {
            b[pos] = i; isUse[i] = true;
            if (getPermutation(pos + 1)) {
                return true;
            }
            isUse[i] = false;
        }
    }
    return false;
}
void getNext() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        isUse[i] = false;
    }
    getPermutation(1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = b[i];
    }

}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &t);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        getNext();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        printf("%d", a[i]);
        if (i == n) putchar(’\n’); else putchar(’ ');
    }
    return 0;
}

24.输入1：6 10 1 6 4 5 3 2

{{ input(24) }}

25.输入2：6 200 1 5 3 4 2 6

{{ input(25) }}

四、完善程序

●A

对于一个 1 到 $n$ 的排列 $P$（即 1 到 $n$中每一个数在 $P$ 中出现了恰好一次），令 $q[i]$为第 $i$ 个位置之后第一个比 $P[i]$ 值更大的位置，如果不存在这样的位置，则$q[i] = n + 1$。举例来说，如果$n$= 5 且$P$ 为 1 5 4 2 3 ，则$q$为2 6 6 5 6。

下列程序读入了排列$P$ ，使用双向链表求解了答案。试补全程序。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int L[N], R[N], a[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x;
        cin >> x;
        ① ;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        R[i] = ② ;
        L[i] = i - 1;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        L[ ③ ] = L[a[i]];
        R[L[a[i]]] = R[ ④ ];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    	cout << ⑤ << " ";
    }
    
    cout << endl;
    return 0;
}

26. ①

{{ input(26) }}

27.②

{{ input(27) }}

28.③

{{ input(28) }}

29.④

{{ input(29) }}

30.⑤

{{ input(30) }}

●B

一只小猪要买 $N$件物品（$N$ 不超过 1000）。

它要买的所有物品在两家商店里都有卖。第$i$ 件物品在第一家商店的价格是 $a_i$，在第二家商店的价格是$b_i$ ，两个价格都不小于 0 且不超过 10000。如果在第一家商店买的物品的总额不少于 50000，那么在第一家店买的物品都可以打 95 折（价格变为原来的 0.95倍）。

求小猪买齐所有物品所需最少的总额。

输入：第一行一个数 $N$。接下来 $N$行，每行两个数。第$i$ 行的两个数分别代表 $a_i, b_i$。

输出：输出一行一个数，表示最少需要的总额，保留两位小数。

试补全程序。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int Inf = 1000000000;
const int threshold = 50000;
const int maxn = 1000;

int n, a[maxn], b[maxn];
bool put_a[maxn];
int total_a, total_b;

double ans;
int f[threshold];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    total_a = total_b = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d%d", a + i, b + i);
        if (a[i] <= b[i]) total_a += a[i];
        else total_b += b[i];
    }
    ans = total_a + total_b;
    total_a = total_b = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if ( ① ) {
            put_a[i] = true;
            total_a += a[i];
        } else {
            put_a[i] = false;
            total_b += b[i];
        }
    }
    if ( ② ) {
        printf("%.2f", total_a * 0.95 + total_b);
        return 0;
    }
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i < threshold; ++i)
        f[i] = Inf;
    int total_b_prefix = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!put_a[i]) {
            total_b_prefix += b[i];
            for (int j = threshold - 1; j >= 0; --j) {
                if ( ③ >= threshold && f[j] != Inf)
                    ans = min(ans, (total_a + j + a[i]) * 0.95 + ④ );
                f[j] = min(f[j] + b[i], j >= a[i] ? ⑤ : Inf);
            }
        }
    printf("%.2f", ans);
    return 0;
}

31.①

{{ input(31) }}

32.②

{{ input(32) }}

33.③

{{ input(33) }}

34.④

{{ input(34) }}

35. ⑤

{{ input(35) }}