#1798. 「NOI2015」荷马史诗

「NOI2015」荷马史诗

题目描述

追逐影子的人,自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后,细细地品上一杯卡布奇诺,静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了,Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 nn 种不同的单词,从 11nn 进行编号。其中第 ii 种单词出现的总次数为 wiw_i。Allison 想要用 kk 进制串 sis_i 来替换第 ii 种单词,使得其满足如下要求: 对于任意的 1i,jn, ij1 \leq i,j \leq n, \ i \neq j,都有:sis_i 不是 sjs_j 的前缀。

现在 Allison 想要知道,如何选择 sis_i,才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下,Allison 还想知道最长的 sis_i 的最短长度是多少?

一些定义:

一个字符串被称为 kk 进制字符串,当且仅当它的每个字符是 00k1k−1 之间(包括 00k1k−1)的整数。

字符串 Str1\text{Str}_1 被称为字符串 Str2\text{Str}_2 的前缀,当且仅当:存在 1tm1 \leq t \leq m,使得 Str1=Str2[1t]\text{Str}_1=\text{Str}_2[1 \ldots t]。其中,mm 是字符串 Str2\text{Str}_2 的长度,Str2[1t]\text{Str}_2[1 \ldots t] 表示 Str2\text{Str}_2 的前 tt 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第一行包含两个正整数 n,kn,k,中间用单个空格隔开,表示共有 nn 种单词,需要使用 kk 进制字符串进行替换。

接下来 nn 行,第 i+1i+1 行包含 11 个非负整数 wiw_i,表示第 ii 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括两行。

第一行输出一个整数,为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第二行输出一个整数,为保证最短总长度的情况下,最长字符串 sis_i 的最短长度。

样例 1

4 2
1
1
2
2
12
2

X(k)X_{(k)} 表示 XX 是以 kk 进制表示的字符串。

一种最优方案:令 00(2)00_{(2)} 替换第一种单词,01(2)01_{(2)} 替换第二种单词,10(2)10_{(2)} 替换第三种单词,11(2)11_{(2)} 替换第四种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:1×2+1×2+2×2+2×2=121 \times 2+1 \times 2+2 \times 2+2 \times 2=12,最长字符串 sis_i 的长度为 22

一种非最优方案:令 000(2)000_{(2)} 替换第一种单词,001(2)001_{(2)} 替换第二种单词,01(2)01_{(2)} 替换第三种单词,1(2)1_{(2)} 替换第四种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:1×3+1×3+2×2+2×1=121 \times 3+1 \times 3+2 \times 2+2 \times 1=12,最长字符串 sis_i 的长度为 33。与最优方案相比,文章的长度相同,但是最长字符串的长度更长一些。

6 3
1
1
3
3
9
9
36
3

一种最优方案:令 000(3)000_{(3)} 替换第 11 种单词,001(3)001_{(3)} 替换第 22 种单词,01(3)01_{(3)} 替换第 33 种单词,02(3)02_{(3)} 替换第 44 种单词,1(3)1_{(3)} 替换第 55 种单词,2(3)2_{(3)} 替换第 66 种单词。

数据范围与提示

限制与约定

Case # nn 的规模 kk 的规模 附加限制
1 n=3n = 3 k=2k = 2 -
2 n=5n = 5
3 n=16n = 16 所有 wiw_i 均相等
4 n=1000n = 1000 wiw_i 在取值范围内均匀随机
5 -
6 n=100000n = 100000
7 所有 wiw_i 均相等
8 -
9 n=7n = 7 k=3k = 3
10 n=16n = 16 所有 wiw_i 均相等
11 n=1001n = 1001
12 n=99999n = 99999 k=4k = 4
13 n=100000n = 100000 -
14
15 n=1000n = 1000 k=5k = 5
16 n=100000n = 100000 k=7k = 7 wiw_i 在取值范围内均匀随机
17 -
18 k=8k = 8 wiw_i 在取值范围内均匀随机
19 k=9k = 9 -
20

对于所有数据,保证 $2 \leq n \leq 100000, \ 2 \leq k \leq 9, \ 0 \lt w_i \leq 10^{11}$。选手请注意使用 6464 位整数进行输入输出、存储和计算。

评分方式

对于每个测试点:
若输出文件的第 11 行正确,得到该测试点 40%40\% 的分数;
若输出文件完全正确,得到该测试点 100%100\% 的分数。