一、选择题（共 20 题，每题 1.5 分，共计 30 分；有单选和多选题）

1. 从（ ）年开始，NOIP 竞赛将不再支持 Pascal 语言。 {{ select(1) }}

• 2020
• 2021
• 2022
• 2023

2. 在 88 位二进制补码中，10101011 表示的数是十进制下的（ ）。 {{ select(2) }}

• 43
• -85
• -43
• -84

3. 分辨率为 $1600\times 900$、16 位色的位图，存储图像信息所需的空间为（ ）。 {{ select(3) }}

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4. 2017 年 10 月 1 日是星期日，1949 年 10 月 1 日是（ ）。 {{ select(4) }}

• 星期三
• 星期日
• 星期六
• 星期二

5. 设 G 是有 n 个结点、m 条边 ($n \leq m$) 的连通图，必须删去 G 的（ ）条边， 才能使得 G 变成一棵树。 {{ select(5) }}

• m - n+1
• m - n
• m + n + 1
• n - m + 1

6. 若某算法的计算时间表示为递推关系式：

$T(N)=2T(\frac{N}{2})+NlogN$

$T(1) = 1T$

则该算法的时间复杂度为（ ）。 {{ select(6) }}

• $O(N)O(N)$
• $O(N \log N)$
• $O(N \log^2 N)$
• $O(N^2)$

7. 表达式 $\texttt{a * (b + c) * d}$ 的后缀形式是（ ）。 {{ select(7) }}

• $\texttt{a b c d * + *}$
• $\texttt{a b c + * d *}$
• $\texttt{a * b c + * d}$
• $\texttt{b + c * a * d}$

8. 由四个不同的点构成的简单无向连通图的个数是（ ）。 {{ select(8) }}

• 32
• 35
• 38
• 41

9.将 7 个名额分给 4 个不同的班级，允许有的班级没有名额，有（ ）种不同的分配方案。 {{ select(9) }}

• 60
• 84
• 96
• 120

10. 若 $f_0 = 0, f_1 = 1, f_{n + 1} = \dfrac{f_n + f_{n - 1}}{2}$ ，则随着 $i$ 的增大，$f_i$将接近于( )。 {{ select(10) }}

• 1/2
• 2/3
• $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$
• 1

11.设 A 和 B 是两个长为 n 的有序数组，现在需要将 A 和 B 合并成一个排好序的 数组，请问任何以元素比较作为基本运算的归并算法最坏情况下至少要做 （ ）次比较。 {{ select(11) }}

• $n^2$
• $n \log n$
• $2n$
• $2n-1$

12.在$n(n \geq 3)$枚硬币中有一枚质量不合格的硬币（质量过轻或质量过重）,如果只有一架天平可以用来称重且称重的硬币数没有限制，下面是找出这枚不合格的硬币的算法。请把 a-c 三行代码补全到算法中。

a. A ← X ∪ Y
b. A ← Z
c. n ← |A|

算法 Coin(A, n)

1. k ← ⌊n/3⌋   
2. 将 A 中硬币分成 X，Y，Z 三个集合，使得 |X| = |Y| = k,|Z| = n - 2k  
3. if W(X) ≠ W(Y)       //W(X), W(Y) 分别为 X 或 Y 的重量   
4. then __________   
5. else __________   
6.   ___  
7. if n>2 then goto 1   
8. if n=2 then 任取 A 中 1 枚硬币与拿走硬币比较，若不等，则它不合格； 若相等，则 A 中剩下的硬币不合格.    
9.  if n=1 then A 中硬币不合格   

正确的填空顺序是（ ）。 {{ select(12) }}

• b, c, a
• c, b, a
• c, a, b
• a, b, c

13.正实数构成的数字三角形排列形式如图所示。第一行的数为 $a_{1,1}$；第二行的数从左到右依次为 $a_{2,1}$,$a_{2,2}$，第$n$ 行的数为$a_{n,1},a_{n,2},\dots,a_{n,n}$从 $a_{1,1}$开始，每一行的数 $a_{i,j}$只有两条边可以分别通向下一行的两个数 $a_{i+1,j}$ 和 $a_{i+1,j+1}$。用动态规划算法找出一条从$a_{1,1}$向下通到 $a_{n,1},a_{n,2},\dots,a_{n,n}$ 中某个数的路径，使得该路径上的数之和最大。

令$C[i][j]$ 是从$a_{1,1}$ 到 $a_{i,j}$ 的路径上的数的最大和，并且$C[i][0]=C[0][j]$=0，则 $C[i][j]$= ( )。

{{ select(13) }}

• $\max\{C[i-1][j-1],C[i-1][j]\}+a_{i,j}$
• $C[i-1][j-1]+C[i-1][j]$
• $\max\{C[i-1][j-1],C[i-1][j]\}+1$
• $\max\{C[i][j-1],C[i-1][j]\}+a_{i,j}$​

14.小明要去南美洲旅游，一共乘坐三趟航班才能到达目的地，其中第 1 个航班准点的概率是 0.9，第 2 个航班准点的概率为 0.8，第 3 个航班准点的概率为 0.9。如果存在第 i 个（i=1,2）航班晚点，第 i+1 个航班准点，则小明将赶不上第 i+1 个航班，旅行失败；除了这种情况，其他情况下旅行都能成功。请问小明此次旅行成功的概率是（ ）。 {{ select(14) }}

• 0.5
• 0.648
• 0.72
• 0.74

15.欢乐喷球：儿童游乐场有个游戏叫“欢乐喷球”，正方形场地中心能不断喷出彩色乒乓球，以场地中心为圆心还有一 圆形轨道，轨道上有一列小火车在匀速运动，火车有六节车厢。

假设乒乓球等概率落到正方形场地的每个地点，包括火车车厢。小朋友玩这个游戏时，只能坐在同一个火车车厢里，可以在自己的车厢里捡落在该车厢内的所有乒乓球，每个人每次游戏有三分钟时间，则一个小朋友独自玩一次游戏期望可以得到（ ）个乒乓球。假设乒乓球喷出的速度为 2 个/秒，每节车厢的面积是整个场地面积的 $\frac{1}{20}$。

{{ select(15) }}

• 60
• 108
• 18
• 20

16.以下排序算法在最坏情况下时间复杂度最优的有（ ）。 {{ multiselect(16) }}

• 冒泡排序
• 快速排序
• 归并排序
• 堆排

17.对于入栈顺序为 a, b, c, d, e, f, g 的序列，下列（ ）不可能是合法的出栈序列。 {{ multiselect(17) }}

• a,b,c,d,e,f,g
• a,d,c,b,e,g,f
• a,d,b,c,g,f,e
• g,f,e,d,c,b,a

18.下列算法中，（ ）是稳定的排序算法。 {{ multiselect(18) }}

• 快速排序
• 堆排序
• 希尔排序
• 插入排序

19.以下是面向对象的高级语言的有（ ）。 {{ multiselect(19) }}

• 汇编语言
• C++
• Fortran
• Java

20.以下和计算机领域密切相关的奖项有（ ）。 {{ multiselect(20) }}

• 奥斯卡奖
• 图灵奖
• 诺贝尔奖
• 王选奖

二、填空题

21.如右图所示，共有 13 个格子。对任何一个格子进行一次操作，会使得它自己以及与它上下左右相邻的格子中的数字改变（由 1 变 0，或由 0 变 1）。现在要使得所有的格子中的数字都变为 0，至少需要_________次操作。

{{ input(21) }}

22-23.如下图所示，A 到 B 是连通的。假设删除一条细的边的代价是 1，删除一条粗的边的代价是 2，要让 A,B 不连通，最小代价是（ ① ）（2 分），最小代价的不同方案数是（ ② ）（3 分）。（只要有一条删除的边不同，就是不同的方案）

22.① {{ input(22) }}

23.② {{ input(23) }}

三、阅读程序写结果

24. 阅读程序写结果:

#include <iostream> 
using namespace std;   
int g(int m, int n, int x)   
{     
    int ans = 0;   
    int i;   
    if (n == 1)  
        return 1;     
    for (i = x; i <= m / n; i++)         
        ans += g(m - i, n - 1, i);     
    return ans; 
} 
int main() 
{     
    int t, m, n;     
    cin >> m >> n;    
    cout << g(m, n, 0) << endl;     
    return 0;   
} 

输入：8 4

输出：_________

{{ input(24) }}

25. 阅读程序写结果:

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, i, j, x, y, nx, ny;
    int a[40][40];
    for (i = 0; i < 40; i++)
        for (j = 0; j < 40; j++)
            a[i][j] = 0;
    cin >> n;
    y = 0;
    x = n - 1;
    n = 2 * n - 1;
    for (i = 1; i <= n * n; i++) {
        a[y][x] = i;
        ny = (y - 1 + n) % n;
        nx = (x + 1) % n;
        if ((y == 0 && x == n - 1) || a[ny][nx] != 0)
            y = y + 1;
        else {
            y = ny; x = nx;
        }
    }
    for (j = 0; j < n; j++)
        cout << a[0][j] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

输入：3

输出：_________

{{ input(25) }}

26.阅读程序写结果:

#include <iostream>
using namespace std;
int n, s, a[100005], t[100005], i;
void mergesort(int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) / 2;
    int p = l;
    int i = l;
    int j = mid + 1;
    mergesort(l, mid);
    mergesort(mid + 1, r);
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (a[j] < a[i])
        {
            s += mid - i + 1;
            t[p] = a[j];
            p++;
            j++;
        }
        else
        {
            t[p] = a[i];
            p++;
            i++;
        }
    }
    while (i <= mid)
    {
        t[p] = a[i];
        p++;
        i++;
    }
    while (j <= r)
    {
        t[p] = a[j];
        p++;
        j++;
    }
    for (i = l; i <= r; i++)
        a[i] = t[i];
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    mergesort(1, n);
    cout << s << endl;
    return 0;
}

输入：6

2 6 3 4 5 1

输出：_________

{{ input(26) }}

27-29.阅读程序写结果:

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int x = 1;
    int y = 1;
    int dx = 1;
    int dy = 1;
    int cnt = 0;
    while (cnt != 2)
    {
        cnt = 0;
        x = x + dx;
        y = y + dy;
        if (x == 1 || x == n)
        {
            ++cnt;
            dx = -dx;
        }
        if (y == 1 || y == m)
        {
            ++cnt;
            dy = -dy;
        }
    }
    cout << x << " " << y << endl;
    return 0;
} 

输入 1：4 3

输出 1：_________（2 分）

27.{{ input(27) }}

输入 2：2017 1014

输出 2：_________（3 分）

28.{{ input(28) }}

输入 3：987 321

输出 3：_________（3 分）

29.{{ input(29) }}

四、完善程序

●A

（大整数除法）给定两个正整数 $p$ 和 $q$，其中 $p$ 不超过 $10^{100}$， $q$ 不超过 100000， 求 $p$ 除以 $q$ 的商和余数。

（第一空 2 分，其余 3 分） 输入：第一行是 $p$ 的位数$n$，第二行是正整数 $p$，第三行是正整数 $q$。 输出：两行，分别是 $p$ 除以 $q$ 的商和余数。

#include <iostream>
using namespace std;
int p[100];
int n, i, q, rest;
char c;
int main()
{
    cin >> n;
    for (i = 0;
         i < n; i++)
    {
        cin >> c;
        p[i] = c - '0';
    }
    cin >> q;
    rest = (1);
    i = 1;
    while ((2) && i < n)
    {
        rest = rest * 10 + p[i];
        i++;
    }
    if (rest < q)
        cout << 0 << endl;
    else
    {
        cout << (3);
        while (i < n)
        {
            rest = (4);
            i++;
            cout << rest / q;
        }
        cout << endl;
    }
    cout << (5) << endl;
    return 0;
}

30. (1)

{{ input(30) }}

31.(2)

{{ input(31) }}

32.(3)

{{ input(32) }}

33.(4)

{{ input(33) }}

34.(5)

{{ input(34) }}

●B

最长路径）给定一个有向无环图，每条边长度为 1，求图中的最长路径长度。（第五空 2 分，其余 3 分）

输入：第一行是结点数 n（不超过 100）和边数 m，接下来 m 行，每行两个整数 a,b，表示从结点 a 到结点 b 有一条有向边。结点标号从 0 到 (n-1)。 输出：最长路径长度。

提示：先进行拓扑排序，然后按照拓扑序计算最长路径。

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m, i, j, a, b, head, tail, ans;
int graph[100][100]; // 用邻接矩阵存储图
int degree[100];     // 记录每个结点的入度
int len[100];        // 记录以各结点为终点的最长路径长度
int queue[100];      // 存放拓扑排序结果
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (i = 0; i < n; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
            graph[i][j] = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
        degree[i] = 0;
    for (i = 0; i < m; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        graph[a][b] = 1;
        (1);
    }
    tail = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
        if ((2))
        {
            queue[tail] = i;
            tail++;
        }
    head = 0;
    while (tail < n - 1)
    {
        for (i = 0; i < n; i++)
            if (graph[queue[head]][i] == 1)
            {
                (3);
                if (degree[i] == 0)
                {
                    queue[tail] = i;
                    tail++;
                }
            }
        (4);
    }
    ans = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        a = queue[i];
        len[a] = 1;
        for (j = 0; j < n; j++)
            if (graph[j][a] == 1 && len[j] + 1 > len[a])
                len[a] = len[j] + 1;
        if ((5))
            ans = len[a];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

35.(1)

{{ input(35) }}

36.(2)

{{ input(36) }}

37.(3)

{{ input(37) }}

38.(4)

{{ input(38) }}

39. (5)

{{ input(39) }}