一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 在 Linux 系统终端中，以下哪个命令用于创建一个新的目录？ {{ select(1) }}

• newdir
• mkdir
• create
• mkfold

2. 0,1,2,3,4 中选取 4 个数字，能组成（）个不同四位数（注：最小的四位数是 1000 最大的四位数是 9999）。

{{ select(2) }}

• 96
• 18
• 120
• 84

3. 假设$n$是图的顶点的个数，$m$是图的边的个数，为求解某一问题有下面四种不同时间复杂度的算法。对于$m=\Theta(n)$ 的稀疏图而言，下面的四个选项，哪一项的渐近时间复杂度最小（）。 {{ select(3) }}

• $O(m\sqrt{\log n}\cdot \log\log n)$
• $O(n^2+m)$
• $O(\dfrac {n^2} {\log m}+ m\log n)$
• $O(m+n\log n)$

4. 假设有 $n$ 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为 1,2,3,⋯ 的圆环：每根柱子的底 部固定，顶部可以放入圆环；每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有 4 根柱子时，最多可以放置（）个圆环 {{ select(4) }}

• 7
• 9
• 11
• 5

5.以下对数据结构的表述不恰当的一项是： {{ select(5) }}

• 队列是一种先进先出（FIFO）的线性结构
• 哈夫曼树的构造过程主要是为了实现图的深度优先搜索
• 散列表是一种通过散列函数将关键字映射到存储位置的数据结构
• 二叉树是一种每个结点最多有两个子结点的树结构

6. 以下连通无向图中，（）一定可以用不超过两种颜色进行染色 {{ select(6) }}

• 完全三叉树
• 平面图
• 边双连通图
• 欧拉图

7. 最长公共子序列长度常常用来衡量两个序列的相似度。其定义如下：给定两个序列 $X={x_1,x_2,x_3,\cdots,x_m}$和 $Y={y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n}$，最长公共子序列（LCS）问题的目标是找到一个最长的新序列 $Z={z_1,z_2,z_3,\cdots,z_k}$, 使得序列$Z$ 既是序列 $X$ 的子序列，又是序列 $Y$ 的子序列，且序列 $Z$ 的长度 $k$ 在满足上述条件的序列里是最大的。 （注：序列 $A$是序列 $B$ 的子序列，当且仅当在保持序列 $B$ 元素顺序的情况下，从序列$B$ 中删除若干个元素，可以使得剩余的元素构成序列 $A$。）则序列 $ABCAAAABA$ 和$ABABCBABA$的最长公共子序列长度为（） {{ select(7) }}

• 4
• 5
• 6
• 7

8. 一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 $x$ 点，得到$2x$元；第二次掷出$y$ 点，当 $y=x$ 时玩家会失去之前得到的 $2x$元而当 $y \neq x$时玩家能保住第一次获得的 $2x$元。上述 $x,y\in{1,2,3,4,5,6}$。 例如：玩家第 一次掷出 3 点得到 6 元后，但第二次再次掷出 3 点，会失去之前得到的 6 元，玩家最终收益为 0 元；如果玩家第一次掷出 3 点、第二次掷出 4 点，则最终收益是 6 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 $\dfrac 1 6$ ,玩家连续掷两次般子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？ {{ select(8) }}

• 77 元
• $\dfrac{35}{6}$ 元
• $\dfrac{16}{3}$ 元
• $\dfrac{19}{3}$ 元

9. 假设我们有以下的 C++ 代码：

int a = 5, b = 3, c = 4;
bool res = a & b || c ^ b && a | c; 

请问，res 的值是什么？（）

提示：在 C++ 中，逻辑运算的优先级从高到低依次为：逻辑非（!）、逻辑与（&&）、逻辑或（||）。位运算的优先级从高到低依次为：位非（~）、位与（&）、位异或（^）、位或（|）。同时，双目位运算的优先级高于双目逻辑运算；逻辑非与位非优先级相同，且高于所有双目运算符。 {{ select(9) }}

• true
• false
• 1
• 0

10.假设快速排序算法的输入是一个长度为n 的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第一个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为? {{ select(10) }}

• 快速排序对于此类输入的表现最好，因为数组已经排序。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $\Theta(n\log n)$。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $\Theta(n^2)$。
• 快速排序无法对此类数组进行排序，因为数组已经排序。

11.以下哪个命令，能将一个名为 main.cpp 的 C++ 源文件，编译并生成一个名为 main 的可执行文件？（） {{ select(11) }}

• g++ -o main main.cpp
• g++ -o main.cpp main
• g++ main -o main.cpp
• g++ main.cpp -o main.cpp

12.在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？ {{ select(12) }}

• 44 个结点的树
• 66 个结点的树
• 77 个结点的树
• 88 个结点的树

13.如图是一张包含 6 个顶点的有向图，但顶点间不存在拓扑序。如果要删除其中一条边，使这 6 个顶点能进行拓扑排序，请问总共有多少条边可以作为候选的被删除边？（）

{{ select(13) }}

• 1
• 2
• 3
• 4

14.若 $n=\sum_{i=0}^k {16^i\cdot x_i}$，定义$f(n)=\sum_{i=0}^k {x_i}$，其中 $x_i \in\{{0,1,\cdots,15}\}$。对于给定自然数 $n_0$，存在序列$n_0,n_1,n_2,\cdots,n_m$，其中对于 $1 \le i \le m$都有$n_i=f(n_{i-1})$，且$n_m=n_{m-1}$，称 $n_m$为 $n_0$关于 $f$ 的不动点。问在 $100_{16}$到 $1A0_{16}$中，关于$f$ 的不动点为 9 的自然数个数为（）。 {{ select(14) }}

• 10
• 11
• 12
• 13

15.现在用如下代码来计算 $x^n$，其时间复杂度为（）

double quick_power(double x, unsigned n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;
    return quick_power(x, n / 2)
        * quick_power(x, n / 2)
        * ((n & 1) ? x : 1);
} 

{{ select(15) }}

• $O(n)$
• $O(1)$
• $O(log n)$
• $O(n \log n)$

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确选$A$，错误选$B$；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

1.

01 #include <iostream>
02 using namespace std;
03 
04 unsigned short f(unsigned short x) {
05    x ^= x << 6;
06    x ^= x >> 8;
07    return x;
08 }
09
10 int main() {
11    unsigned short x;

12    cin >> x;
13    unsigned short y = f(x);
14    cout << y << endl;
15    return 0;
16}

假设输入的 x 是不超过 65535 的自然数，完成下面的判断题和单选题:

判断题

16. 当输入非零时，输出一定不为零。（）

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. （2 分）将 f 函数的输入参数的类型改为 unsigned int，程序的输出不变。（） {{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 当输入为 65535 时，输出为 63。（） {{ select(18) }}

• 正确
• 错误

19. 当输入为 1 时，输出为 64。（） {{ select(19) }}

• 正确
• 错误

单选题

20. 当输入为 512 时，输出为（）。

{{ select(20) }}

• 33280
• 33410
• 33106
• 33346

21. 当输入为 64 时，执行完第 5 行后 x 的值为（）。 {{ select(21) }}

• 8256
• 4130
• 4128
• 4160

2.

01 #include <iostream>
02 #include <cmath>
03 #include <vector>
04 #include <algorithm>
05 using namespace std;
06
07 long long solve1(int n) {
08    vector<bool> p(n + 1, true);
09    vector<long long> f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
10    f[1] = 1;
11    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
12        if (p[i]) {
13            vector<int> d;
14            for (int k = i; k <= n; k *= i)d.push_back(k);
15            reverse(d.begin(), d.end());
16            for (int k : d) {
17                for (int j = k; j <= n; j += k) {
18                    if (p[j]) {
19                        p[j] = false;
20                        f[j] = i;
21                        g[j] = k;
22                    }
23                }
24            }
25        }
26    }
27    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
28        if (p[i]) {
29            f[i] = i;
30            g[i] = i;
31        }
32    }
33 long long sum = 1;
34    for (int i = 2; i <= n; i++) {
35        f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
36        sum += f[i];
37    }
38    return sum;
39 }
40
41 long long solve2(int n) {
42    long long sum = 0;
43    for (int i = 1; i <= n; i++) {
44        sum += i * (n / i);
45    }
46    return sum;
47}
48
49 int main() {
50    int n;
51    cin >> n;
52    cout << solve1(n) << endl;
53    cout << solve2(n) << endl;
54    return 0;
55}

假设输入的 n 是不超过 1000000 的自然数，完成下面的判断题和单选题:

判断题

22.将第 15 行删去，输出不变。（） {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23.当输入为 10 时，输出的第一行大于第二行。（） {{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24.（2 分） 当输入为 1000 时，输出的第一行与第二行相等。（） {{ select(24) }}

• 正确
• 错误

单选题

25.solve1(n) 的时间复杂度为（）。 {{ select(25) }}

• $O(n \log^2 n)$
• $O(n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n \log\log n)$

26.solve2(n) 的时间复杂度为（）。 {{ select(26) }}

• $O(n^2)$
• $O(n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n \sqrt n)$

27.当输入为 5 时，输出的第二行为（）。 {{ select(27) }}

• 20
• 21
• 22
• 23

3.

01 #include <vector>
02 #include <algorithm>
03 #include <iostream>
04
05 using namespace std;
06
07 bool f0(vector<int> &a, int m, int k) {
08    int s = 0;
09    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
10        while (a[i] - a[j] > m) j++;
11        s += i - j;
12   }
13    return s >= k;
14}
15
16 int f(vector<int> &a, int k) {
17    sort(a.begin(), a.end());
18
19    int g = 0;
20    int h = a.back() - a[0];
21    while (g < h) {
22        int m = g + (h - g) / 2;
23        if (f0(a, m, k)) {
24            h = m;
25        } else {
26            g = m + 1;
27        }
28    }
29
30    return g;
31}
32
33 int main() {
34    int n, k;
35    cin >> n >> k;
36    vector<int> a(n, 0);
37    for (int i = 0; i < n; i++) {
38        cin >> a[i];
39    }
40    cout << f(a, k) << endl;
41    return 0;
42}

假设输入总是合法的且 $\left | a[i] \right | \le 10^8, n \le 10000, 1 \le k \le \dfrac {n(n-1)} 2$，完成下面的判断题和单选题:

判断题

28.将第 24 行的 m 改为 m - 1，输出有可能不变，而剩下情况为少 1。（） {{ select(28) }}

• 正确
• 错误

29.将第 22 行的 g + (h - g) / 2 改为 (h + g) >> 1，输出不变。（） {{ select(29) }}

• 正确
• 错误

30.当输入为 5 7 2 -4 5 1 -3，输出为 5。（） {{ select(30) }}

• 正确
• 错误

单选题

31.设 a 数组中最大值减最小值加 1 为 A，则 f 函数的时间复杂度为（）。 {{ select(31) }}

• $O(n \log A)$
• $O(n^2 \log A)$
• $O(n \log (nA))$
• $O(n \log n)$

32.将第 10 行中的 > 替换为 >=，那么原输出与现输出的大小关系为（）。 {{ select(32) }}

• 一定小于
• 一定小于等于且不一定小于
• 一定大于等于且不一定大于
• 以上三种情况都不对.

33.当输入为 5 8 2 -5 3 8 -12，输出为（）。 {{ select(33) }}

• 13
• 14
• 8
• 15

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

(1)（第 $k$ 小路径）给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向无环图，定点编号从 0 到 $n-1$，对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第 $k$ 小的路径。保证存在至少 $k$ 条路径。上述参数满足$1 \le n,m \le 10^5, 1 \le k \le 10^{18}$

在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过$10^18$的数都用 $10^18$表示。然后我们根据 $k$ 的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。

试补全程序。

01 #include <iostream>
02 #include <algorithm>
03 #include <vector>
04
05 const int MAXN = 100000;
06 const long long LIM = 1000000000000000000ll;
07
08 int n, m, deg[MAXN];
09 std::vector<int> E[MAXN];
10 long long k, f[MAXN];
11
12 int next(std::vector<int> cand, long long &k) {
13    std::sort(cand.begin(), cand.end());
14    for (int u : cand) {
15        if (①) return u;
16        k -= f[u];
17    }
18    return -1;
19}
20
21  int main() {
22    std::cin >> n >> m >> k;
23    for (int i = 0; i < m; ++i) {
24        int u, v;
25        std::cin >> u >> v; // 一条从u到v的边
26        E[u].push_back(v);
27        ++deg[v];
28    }
29    std::vector<int> Q;
30    for (int i = 0; i < n; ++i)
31        if (!deg[i]) Q.push_back(i);
32    for (int i = 0; i < n; ++i) {
33        int u = Q[i];
34        for (int v : E[u]) {
35            if (②)  Q.push_back(v);
36            --deg[v];
37        }
38    }
39    std::reverse(Q.begin(), Q.end());
40    for (int u : Q) {
41        f[u] = 1;
42        for (int v : E[u]) f[u] = ③;
43    }
44    int u = next(Q, k);
45    std::cout << u << std::endl;
46    while (④) {
47        ⑤;
48        u = next(E[u], k);
49        std::cout << u << std::endl;
50    }
51    return 0;
52}

34. (1)处应填（ ） {{ select(34) }}

• k >= f[u]
• k <= f[u]
• k > f[u]
• k < f[u]

35. (2)处应填（ ） {{ select(35) }}

• deg[v] == 1
• deg[v] == 0
• deg[v] > 1
• deg[v] > 0

36. (3)处应填（ ） {{ select(36) }}

• std::min(f[u] + f[v], LIM)
• std::min(f[u] + f[v] + 1, LIM)
• std::min(f[u] * f[v], LIM)
• std::min(f[u] * (f[v] + 1), LIM)

37. (4)处应填（ ） {{ select(37) }}

• u != -1
• !E[u].empty()
• k > 0
• k > 1

38. (5)处应填（ ） {{ select(38) }}

• u != -1
• !E[u].empty()
• k > 0
• k > 1

(2)（最大值之和）给定整数序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足$1\le n\le 10^5$和 $1\le a_i\le 10^8$ 。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标$l$ 和$r$（其中$0 \le l \le r < n$）表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 [1,2,1,2]时，要计算子序列 [1]、[2]、[1]、[2]、[1,2]、[2,1]、[1,2]、[1,2,1]、[2,1,2]、[1,2,1,2]的最大值之和，答案为 18。注意 [1,1]和 [2,2] 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n\log n)$。

试补全程序。

01 #include <iostream>
02 #include <algorithm>
03 #include <vector>
04
05 const int MAXN = 100000;
06
07 int n;
08 int a[MAXN];
09 long long ans;
10
11 void solve(int l, int r) {
12    if (l + 1 == r) {
13        ans += a[1];
14        return;
15    }
16    int mid = (l + r) >> 1;
17    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
18    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
19    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
20    for (int i = 0; i < r - mid; ++i) sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
21    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= 1; --i) {
22        while (j < r && ②) ++j;
23        max = std::max(max, a[i]);
24        ans += ③;
25        ans += ④;
26    }
27    solve(l, mid);
28    solve(mid, r);
29}
30
31 int main() {
32 std::cin >> n;
33 for (int i = 0; i < n; ++i)std::cin >> a[i];
34    ⑤;
35  std::cout << ans << std::endl;
36    return 0;
37}

39.(1)处应填（ ） {{ select(39) }}

• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1])
• pre[i + 1] = std::max(pre[i],pre[i + 1])
• pre[i] = std::max(pre[i -1], a[i])
• pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

40.(2)处应填（ ） {{ select(40) }}

• a[j] < max
• a[j] < a[i]
• pre[j - mid] < max
• pre[j - mid] > max

41.(3)处应填（ ） {{ select(41) }}

• (long long)(j - mid) * max
• (long long)(j - mid) * (i - 1) * max
• sum[j - mid]
• sum[j - mid] * (i - 1)

42.(4)处应填（ ） {{ select(42) }}

• (long long)(r - j) * max
• (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• sum[r - mid] - sum[j - mid]
• (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

43.(5)处应填（ ） {{ select(43) }}

• solve(0，n)
• solve(0，n - 1)
• solve(1，n)
• solve(1，n - 1)